Question

(本小题满分14分）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．

Answer

（Ⅰ）；

（Ⅱ）在区间,内为增函数，在区间内为减函数．

函数在处取得极大值，且．

函数在处取得极小值，且

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。主要是导数的几何意义的运用以及运用导数求解函数的 单调区间和极值的综合试题。

（1）先求解定义域和导函数，利用导数值为该点的切线斜率得到直线方程。

（2）利用求解导数，以及导数为零的点，以及导数的正负得到单调区间，并判定极值问题。

解:  （Ⅰ）【解析】
当时，，，………1分

又，则．……… 3分

所以，曲线在点处的切线方程为，

即．……………4分

（Ⅱ）【解析】

．………6分

由于，以下分两种情况讨论．

（1）当时，令，得到，,

当变化时，的变化情况如下表：

0

0

极小值

极大值

所以在区间,内为减函数，在区间内为增函数

故函数在点处取得极小值，且，

函数在点处取得极大值，且．…10分

（2）当时，令，得到，

当变化时，的变化情况如下表：

0

0

极大值

极小值

所以在区间,内为增函数，在区间内为减函数．

函数在处取得极大值，且．

函数在处取得极小值，且．………………14