Question

（本题满分12分）

甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，

答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.

（1）求的概率及的数学期望；

（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求.

Answer

（1）E=2；（2）P(AB) =

【解析】本题考查相互独立重复事件的概率计算，离散变量的分步列、期望的计算，解题时要明确事件之间的关系并准确计算．

（Ⅰ）因为假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，结合独立事件概率的乘法公式得到结论。

（Ⅱ）由题意，ξ可取的值为0、1、2、3，由n次独立重复实验中恰有k次发生的概率公式计算P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=3）、P（ξ=4），进而可得ξ的分步列，进而由期望公式，计算可得答案．

解  （1）方法一  由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且

P（=0）=,P(=1)=,

P(=2)=,P(=3)=.

所以的分布列为

0

1

2

3

P

的数学期望为E=0×+1×+2×+3×=2.

方法二  根据题设可知, ~B,

故P(=1)=

因为~B,所以E=3×=2.--------------------6分

(2)方法一  用C表示“甲队得2分乙队得1分”这一事件，用D表示“甲队得3分乙队得0分”这一事件，所以AB=C∪D，且C、D互斥，

P（C）=    P（D）=

由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=.

方法二  用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“乙队得k分”这一事件，k=0，1，2，3.由于事件A3B0，A2B1为互斥事件，故有P（AB）=P（A3B0∪A2B1）=P（A3B0）+P（A2B1）.由题设可知，事件A3与B0独立，事件A2与B1独立，因此

P（AB）=P（A3B0）+P（A2B1）=P（A3）P（B0）+P（A2）P（B1）

=---------------------12分