Question

（本题满分14分）如图, 在直三棱柱中，，,

，点是的中点．

⑴求证：；

⑵求证：平面；

⑶求二面角的正切值．

Answer

⑴见解析；⑵见解析；⑶

【解析】本试题主要考查了立体几何中的线线垂直的证明，以及线面平行的判定和二面角的平面角的求解的综合运用。

（1）由于已知中三棱柱的性质和三角形可知，得到结论。

（2）利用线线平行来判定得到线面平行的证明。

（3）由于二面角的平面角可以建立空间直角坐标系，求解平面的法向量来表示夹角得到二面角 平面角的求解。

证明：⑴、在直三棱柱，

∵底面三边长，，，∴ ，………1分

又直三棱柱中，，且,

，∴．……………3分

而，∴；…………………………4分

⑵、设与的交点为，连结，…5分

∵ 是的中点，是的中点，∴ ，………7分

∵ ，，∴.…8分

⑶、过点C作CF⊥AB于F，连接C1F.…………9分

由已知C1C垂直平面ABC，

则∠C1FC为二面角的平面角。………11分

在Rt△ABC中，，,,则…………12分

又,∴ ，……………13分

∴二面角的正切值为．…………………………14分

（另：可以建立空间直角坐标系用向量方法完成，酌情给分，过程略）