Question

(本小题满分14分)设,函数.

(1) 若，求曲线在处的切线方程；

(2) 若无零点,求实数的取值范围；

(3) 若有两个相异零点,求证: .

Answer

(1) ；

(2) ；

(3)见解析

【解析】本试题主要是考查了导数的几何意义的运用，以及求解函数的零点的运算，和不等式的综合运用。

（1）由于函数的导数可知函数在没一点的切线的斜率得到切线的斜率和点的坐标，从而得到切线方程。

（2）由于函数无零点，说明图像与x没有交点，函数无零点方程即在上无实数解。利用导数判定单调性得到极值进而得到结论。

（3）原不等式

设函数,结合导数分析证明。

【解析】
方法一

在区间上,.  ……………………1分

（1）当时，，则切线方程为，即 …………3分

（2）①若,则,是区间上的增函数,  

,,

,函数在区间有唯一零点.  …………6分

②若,有唯一零点.    …………7分

③若,令得: .               

在区间上, ,函数是增函数;

在区间上, ,函数是减函数;

故在区间上, 的极大值为.

由即,解得:.

故所求实数a的取值范围是.    …………9分

方法二、函数无零点方程即在上无实数解…………4分

令，则

由即得：        …………6分

在区间上, ,函数是增函数;

在区间上, ,函数是减函数;

故在区间上, 的极大值为.  …………7分

注意到时，；时；时，故方程在上无实数解.

即所求实数a的取值范围是.      …………9分

[注:解法二只说明了的值域是,但并没有证明.]

(3) 设

,

原不等式

令,则,于是.…………12分

设函数,

求导得:

故函数是上的增函数,

即不等式成立,故所证不等式成立.………14分