Question

（本小题满分14分） 若椭圆过点，离心率为，⊙O的圆心在原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B.

  (1) 求椭圆的方程；

（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的方程。

Answer

（1）；（2） 。

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的运用以及直线方程求解问题综合运用。

（1）由题意中离心率和过点（-3,2）得到关系参数a,b,c的关系式，进而求解得到椭圆的方程。

（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6）时，弦PQ最大，

因为直线PA的斜率一定存在，设直线PA的方程为：y-6=k(x-8)，然后又因为PA与圆O相切，所以圆心（0，0）到直线PA的距离可知，从而得到k的值，得到直线方程。

【解析】
（1）由题意得： ，      ………4分

所以椭圆的方程为      …………………………………………6分

（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6）时，弦PQ最大，       ……8分

因为直线PA的斜率一定存在，设直线PA的方程为：y-6=k(x-8)      ……10分

又因为PA与圆O相切，所以圆心（0，0）到直线PA的距离为  ……11分

即  可得              ……………………12分

所以直线PA的方程为：   …………14分