Question

(本小题满分14分)

 已知圆方程为：.

（Ⅰ）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;

（Ⅱ）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

Answer

（Ⅰ）或；                

（Ⅱ）点的轨迹方程是，轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点.  

【解析】(I)先讨论直线不存在时，是否符合题意.

然后再设直线斜率存在时的方程为,再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式,建立关于k的方程，求解即可.

(II)本小题属于相关点求轨迹方程.设点的坐标为（），点坐标为

则点坐标是，再根据，得到，

然后利用点M在圆上，可得到动点Q的轨迹方程，再通过方程判断轨迹是什么曲线.

【解析】
（Ⅰ）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标和，其距离为. 满足题意   ………  1分

②若直线不垂直于轴，设其方程为，即     

设圆心到此直线的距离为，则，得  …………3分       

∴，，                                    

故所求直线方程为                               

综上所述，所求直线为或   …………7分                  

（Ⅱ）设点的坐标为（），点坐标为

则点坐标是                       …………9分

∵，

∴  即，    …………11分          

又∵，∴                     

∴点的轨迹方程是，               …………13分     

轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点.    …………14分