Question

(本小题满分14分)

已知是等比数列,,;是等差数列,,

.

(Ⅰ) 求数列的前项和的公式；

(Ⅱ) 求数列的通项公式；

,其中,试比较与的大小,并证明你的结论.

Answer

（Ⅰ）；(Ⅱ) ;

(Ⅲ)当时，； 当时，； 当时，.

【解析】(I)由a1,a3可求出公比，要注意公式有两个值，然后再根据后面的条件进而取舍.再利用等比数列前n项和公式求和即可.

(II)在（I）的基础上，由可建立关于d的方程，从而求出d,得到bn.

(III) 组成以为公差的等差数列,从而可求得其和为,而组成以为公差的等差数列,,所以,然后再作差进行比较即可.

 【解析】
（Ⅰ）设的公比为，由得，………2分

当时，,这与矛盾，故舍去；

当时，,故符合题意. ………………………3分

从而数列的前项和………………………………………5分

(Ⅱ)设数列的公差为，由,得,

又解得,所以;…………………………………………………8分

(Ⅲ) 组成以为公差的等差数列，

所以 ……………………………………………9分

组成以为公差的等差数列,,

所以,…………………………………………10分

 ……………………………12分

所以对于任意正整数，

当时，； 当时，； 当时，.………14分