Question

（本题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：万元，）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；

（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

Answer

（1）．

（2）时，达到极大值．因为，，则定价为万元能使一个星期的商品销售利润最大．

【解析】(1)解决此题关键是读懂题意建立恰当的数学模型，设商品降价万元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则依题意有.再根据，求出k值.

(2)根据(1),可知,然后求导，利用导数确定f(x)的最值.

（1）设商品降价万元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，……1分

则依题意有

，…4分

又由已知条件，，于是有，……5分

所以．…………7分

（2）根据（1），我们有．

………………9分

作出以下表格：

  ………………12分

故时，达到极大值．因为，，则定价为万元能使一个星期的商品销售利润最大．……14分