Question

（本小题满分14分）

如图1，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示．

(1) 证明：AD⊥平面PBC；

(2) 在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．

Answer

(1)见解析；(2) PQ=

【解析】(1)易证再证即可.

(II) 确定Q的位置是解决此问题的关键：取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ＝2CO，连接PQ，OD，点Q即为所求．

证明：（1）因为，，所以

又因为，所以，所以………………4分

由三视图可得在中，，为的中点，所以

所以………………………………………6分

(2)取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ＝2CO，

连接PQ，OD，点Q即为所求．………………8分

因为O为CQ的中点，D为PC的中点，所以

…………………………10分

连接AQ,BQ,

四边形的对角线互相平分，且,

四边形为正方形，

即为的平分线

又，

在直角三角形中，………………14分