Question

在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底 面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2．

　　(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；

　　(Ⅱ)求证：BC⊥平面PBD；

　　(Ⅲ)求四棱锥P－ABCD的体积。

　　　　　　　　　　

Answer

【解析】
(Ⅰ)证明：取PD的中点F，连结EF，AF，

因为E为PC中点，所以EF∥CD，且EF＝CD＝1，

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝1，

所以EF∥AB，EF＝AB，四边形ABEF为平行四边形，

 所以BE∥AF，

又∵ BE 平面PAD，AF 平面PAD， 所以BE∥平面PAD 

（2）

 BC⊥BD,又BC⊥PD,BC⊥平面PBD

 (3)

【解析】本试题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理和四棱锥的体积的综合运用。

（1）先找到线线平行，BE∥AF，从而利用判定定理得到结论。

（2）要证明线面垂直，先证明线线垂直，利用判定定理得到结论。

（3）对于体积的求解关键是求解底面积和体的高，然后得到结论。