Question

在四面体 中，，且分别是的中点。

求证：（1）直线EF ∥面ACD ；（2）面EFC⊥面BCD ．                     

Answer

（Ⅰ）略（Ⅱ）略

【解析】本试题主要是考查了线面平行的判定和面面垂直的判定的综合运用。

（1）利用线面平行的判定定理，只要得到线线平行即可。

（2）对于面面垂直的判定，自然要通过线面垂直来判定面面垂直，或者建立空间直角坐标系，利用法向量与法向量的垂直来判定

（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，∵EF面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF∥面ACD ．

（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD