Question

如图，矩形中，，，为上的点，且，AC、BD交于点G.

（1）求证：；

（2）求证；；

（3）求三棱锥的体积.

Answer

（1）（2）证明见解析（3）

【解析】本试题主要是考查了空间几何体中线面垂直的证明以及线面平行的证明，以及三棱锥的体积的运算的综合运用。

（1）根据线线垂直判定线面垂直的成立，结合题中的条件证明。

（2）要证明线面平行，只要找到线线平行即可，根据线面平行的判定定理得到结论。

（3）要利用上面的结论分析得到锥体的高度，利用底面积和高来表示体积。

（1）证明：，

 ∴，

 AE平面ABE,    ∴……..2分

又，∴………3分

又∵BC∩BF=B，，

∴………..4分

（2）证明：依题意可知：是中点.

由知，而，

 ∴是中点，

 ∴ 在中，，…………6分

又∵FG平面BFD，AE平面BFD，

∴……………8分

（3）【解析】
，  ∴，而，

 ∴，即……….9分

 是中点，是中点， ∴且.

 又知在△中，，，

 ∴……………11分

∴.…………….12分