Question

已知四棱锥P-ABCD的直观图（如图(1)）及左视图（如图(2)），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB。

(1)求证：AD⊥PB；

(2)求异面直线PD与AB所成角的余弦值；

(3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小.

Answer

(1)见解析(2) (3)

【解析】本试题主要是考查了立体几何中点面线的位置关系的运用。

（1）根据四棱锥P-ABCD的直观图及左视图底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB。判定其形状，然后证明AD⊥PB；

(2)利用平移法得到异面直线PD与AB所成角的余弦值；

(3)建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量，运用向量的夹角公式得到平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小

【解析】
⑴取AB的中点O，连接PO，因为PA=PB，则PO⊥AB，

又∵ 平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO平面PAB，

∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，…………2分

而AD⊥AB，PO∩AB=O，

∴AD⊥平面PAB，

∴AD⊥PB。…………4分

⑵过O作AD的平行线为x轴，以OB、OP所在直线分别为y、z轴，建立如图10的空间直角坐标系，则A（0，-1，0），D（2，-1，0），B（0，1，0），C（2，1，0），

=（2，-1，-2），=（0，2，0），cos＜，＞==-，

即异面直线PD与AB所成角的余弦值为。…………8分

⑶易得平面PAB的一个法向量为n=（1，0 ，0）。

设平面PCD的一个法向量为m=（x，y，z），由⑵知=（2，-1，-2），=（0，-2，0），则，即，解得x=z，

令x=1，则m=（1，0，1），……….10分

则cos＜n，m＞==，

即平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小为。…………..12分