Question

已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；

(3)在(2)的条件下，证明直线与轴相交于定点．

Answer

(1) (2) 或(3)见解析

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程求解以及直线与圆的位置关系的运用，直线与椭圆的位置关系的综合运用。

（1）因为椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．根据椭圆的性质和线圆的位置关系得到a,b的值。

（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理得到参数k，然后借助于判别式得到范围。

（3）设点，则，直线的方程为

令，得，将代入整理，得．得到两根的关系式，结合韦达定理得到定点。

【解析】
⑴由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：．………4分

⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为  ①

联立消去得：，……..6分

由得，……….7分

又不合题意，

所以直线的斜率的取值范围是或．……….9分

⑶设点，则，直线的方程为

令，得，将代入整理，得．     ②…………….12分

由得①代入②整理，得，

所以直线与轴相交于定点．……….14分