Question

（本小题满分14分）已知函数.

(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求

的取值范围.

Answer

（Ⅰ）.  

（Ⅱ）的单调递增区间是和，单调递减区间是. 

（Ⅲ）. 

【解析】(I)先求导，利用,建立关于a的方程，从而求出a值.

(II) ,然后再根据a的取值范围进行讨论，确定其单调区间.

（III）本小题的实质是在上有,然后分别研究f(x)和g(x)的最大值即可.

.                     ………………2分

（Ⅰ），解得.                             ………3分

（Ⅱ）.                      ……5分

①当时，，，

在区间上，；在区间上，

故的单调递增区间是，单调递减区间是.     ………6分

②当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.  …………7分

③当时，， 故的单调递增区间是.  ………8分

④当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.   ………9分

（Ⅲ）由已知，在上有.               ………………10分

由已知，，由（Ⅱ）可知，

①当时，在上单调递增，

故，

所以，，解得，故. ……………11分

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

故.

由可知，，，

所以，，，                        ………………13分

综上所述，.                                     ………………14分