Question

在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．

（1）求棱的长；

（2）若的中点为，求异面直线与所成角的余弦值.

Answer

（1）3（2）

【解析】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离。

（1）因为）设，由题设，可知棱长。

（2）因为在长方体中//，

所以即为异面直线与所成的角（或其补角）

那么借助于三角形求解得到结论。

【解析】
（1）设，由题设，

得，即，解得．

故的长为．    ……………………………6分

（2）因为在长方体中//，

所以即为异面直线与所成的角（或其补角）．…………………………8分

在△中，计算可得，则的余弦值为。……………12分