Question

如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，．

（Ⅰ）证明：平面;

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】本试题主要是考查了线面垂直的问题和线面角的求解的综合运用。

（1）要证明线面垂直关键是证明线线垂直，BA垂直于平面ASD。

（2）利用等价转化思想，通过求解点到面的距离得到线面角的求解。

【解析】

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，

连结SE，则

又SD=1，故，

所以为直角。      …………3分

由，

得平面SDE，所以。

SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以平面SAB。    …………6分

（II）由平面SDE知，

平面平面SED。

作垂足为F，则SF平面ABCD，

作，垂足为G，则FG=DC=1。

连结SG，则，

又，

故平面SFG，平面SBC平面SFG。

作，H为垂足，则平面SBC。

，即F到平面SBC的距离为  …………………………10分

由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离也有

设AB与平面SBC所成的角为，

则。………………………12分