Question

已知函数(）是奇函数，有最大值

且.

（1）求函数的解析式；

（2）是否存在直线与的图象交于P、Q两点，并且使得、两点关于点 对称，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

Answer

（1）（2）过P、Q的直线l的方程：x－4y－1=0

【解析】(1)由于f(x)为奇函数，可知f(-x)+f(x)=0恒成立，据此可求出c=0.

∴f(x)=.由a＞0，,所以当x>0时，才可能取得最大值，所以x＞0时，当且仅当,即时，f(x)有最大值,

从而得到a=b2  ,再结合f(1)＞，∴＞,

∴5b＞2a+2,,可求出a,b的值.

(2)本小题属于存在性问题，先假设存在，设P(x0,y0),根据P、Q关于点（1，0）对称,可求出点P的坐标，从而确定Q的坐标，所以PQ的方程易求.

【解析】
（1）∵f(x)是奇函数，

∴f(–x)=－f(x)，即，

∴－bx+c=－bx–c，

∴c=0，------------2分

∴f(x)=.由a＞0，，      当x≤0时，f(x)≤0，

当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)的最大值在x＞0时取得.

∴x＞0时，当且仅当

即时，f(x)有最大值∴=1,∴a=b2         ①

又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2   ②

把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,a=1, ----------4分

∴f(x)=              ------------7分

（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，

P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x02–2x0–1=0---9分

解之，得x0=1±,∴P点坐标为()或()，

进而相应Q点坐标为Q（）或Q()， -------11分

过P、Q的直线l的方程：x－4y－1=0即为所求. -----------15分