Question

设曲线在点A(x,)处的切线斜率为k(x),且k (－1)=0.对一切实数x,不等式xk (x)恒成立(≠0).

(1) 求(1)的值;

(2) 求函数k(x)的表达式;

(3) 求证:＞

Answer

【解析】
（1）由，所以   。。。。。。。3分

（2），由，

得                   。。。。。。。4分

又恒成立，则由恒成立得

，同理由恒成立也可得:  综上，，所以    。。。。。。。6分

（3）           。。。。。。。7分

要证原不等式，即证

因为                    。。。。。。。8分

所以=

所以                           。。。。。。。10分

本小问也可用数学归纳法求证。证明如下：

由

1、 当时，左边=1，右边=，左边>右边，所以，不等式成立。。。。。。。7分

2、 假设当时，不等式成立，即

 当时，

左边=

由

所以               。。。。。。。9分

即当时，不等式也成立综上得 。。。。。。。10分

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解切线方程，以及证明不等是的 综合运用。

（1）由，所以

（2）因为，由，

得 

又恒成立，则由恒成立得到。

（3）要证原不等式，即证

因为

所以=

所以得到结论。