Question

（本小题满分12分）

为实数，函数

（1）求的单调区间

（2）求证：当且时，有

（3）若在区间恰有一个零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）的递减区间为；递增区间为.

（2）

；

（3）   

【解析】本试题主要是考查了函数的单调性和函数的极值，以及函数的零点的综合运用

（1）因为令得.

当时，   

当时，

可知单调增减区间。

（2）设

则

由（1）知：

，即在上递增

从而得到不等式的证明。

（3）由（1）可得

得到参数a的范围。

【解析】
（1） 令得.

当时，   

当时，

∴的递减区间为；递增区间为.………………….（4分）

（2）设

则

由（1）知：

，即在上递增

即…………………. ………………….（8分）

（3）由（1）可得

即，或

         …………….（12分）