Question

已知函数，

（1）判断函数的奇偶性；  （2）求函数的单调区间；

（3）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．

Answer

（1）为偶函数

（2）的递增区间是和；递减区间是和．

（3）（－∞，－1]∪[1，＋∞）

【解析】本试题主要考查而来函数的奇偶性和周期性和单调性以及方程的解的综合运用。

（1）函数f(x)的定义域为 ,然后利用定义判定

∴f(x)为偶函数 

（2）当x>0时，求解导函数，讨论得到单调区间，进而的分析最值

（3））利用由f(x)=kx-1， 构造函数利用导数得到结论。

【解析】
（1）函数的定义域为{且}

      ∴为偶函数  

（2）当时， 

若，则，递减；  

若，   则，递增．

再由是偶函数，

得的递增区间是和；

递减区间是和．

（3）由，得：     令

当，     显然

时，，      时，，

∴时，  

又，为奇函数    ∴时，

∴的值域为（－∞，－1]∪[1，＋∞）

∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．