Question

已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）若直线是曲线的切线，求实数的值；

（3）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）

Answer

（1）的单调递减区间是，单调递增区间是

（2）

（3）当时，最大值为，

当时， 的最大值为

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用.

(1) 因为 函数，其中.求导函数，得到函数的单调区间；

（2）因为直线是曲线的切线，设切点坐标，利用导数表示出切线方程，利用对应相等得到，实数的值；

(3) ，则，解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数.然后分类讨论得到结论。

【解析】
（1），

在区间上，；在区间上， .

所以，的单调递减区间是，单调递增区间是

（2）设切点坐标为，则  解得.

（3），则，解，得，

所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数.

当，即时，在区间上，为递增函数，

所以最大值为.

当，即时，在区间上，为递减函数，

所以最大值为.

当，即时，的最大值为和中较大者；

，解得，

所以，时，最大值为，

时， 最大值为.

综上所述，当时，最大值为，

当时， 的最大值为.