Question

(本小题满分12分)已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点.

(1)设为参数，求椭圆的参数方程；

(2)在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大，并求此最大值.

Answer

（1） （为参数）；

（2）当 ，即 时， 。 

【解析】本试题主要是考查了运用参数方程来求解最值的数学思想的运用。

（1）把代入椭圆方程，得，

 于是  ， 即  ，那么可知参数方程的表示。

（2）由椭圆的参数方程，设

易知 A(3,0),B(0,2)，连接OP,

结合三角函数的值域求解最值。

【解析】
（1）把代入椭圆方程，得，

 于是  ， 即  ………………（3分）

由参数的任意性，可取 ，

因此，椭圆 的参数方程是  （为参数）………（5分）

（2）由椭圆的参数方程，设

易知 A(3,0),B(0,2)，连接OP,

……（9分）

当 ，即 时，……………………………（11分）

                   ………………………………（12分）