Question

（本题满分12分）如图，底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，AC=1, PA=2, PB=PD=，点M是PD的中点．

(Ⅰ)证明：PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)若AN为PD边的高线，求二面角M-AC-N的余弦值．

Answer

证明：见解析；

（Ⅱ）．

【解析】本试题主要是考查了线面垂直的判定和二面角平面角的求解的综合运用。

（1）要证明线面垂直，要通过判定定理线线垂直得到线面垂直，关键是证明，。

（2）建立空间直角坐标系，然后表示出平面的法向量与法向量的夹角，进而求解二面角的平面角的大小的求解。

证明：（Ⅰ）∵菱形ABCD中∠ABC=60°，

∴ABC为等边三角形

∴--------1分

又∵，

∴有，

∴，-------3分

∴，，而

∴平面（4分）

（Ⅱ）取BC中点E，连结AE，则AE⊥BC．以点A为坐标原点，AE为x轴正向，AD为y轴正向，AP为z轴正向建立空间直角坐标系，则

（5分）

在PAD内，AD=1, AP=2，∴PD=, AN=，点

（6分）

设平面AMC的一个法向量为，则

，

令y=1, 则，得平面AMC的一个法向量；（8分）

设平面ANC的法向量为，则，

令y=1, 得平面ANC的一个法向量（10分）

设二面角M-AC-N的平面角为，由图像知其必为锐角，从而有（12分）

．