Question

（本题满分14分）已知函数（为常数,）．

(Ⅰ)当时，求函数在处的切线方程；

(Ⅱ)当在处取得极值时，若关于的方程在[0，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

(Ⅲ)若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．

Answer

(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)实数的取值范围为．

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用

（1）利用导数的几何意义，表示切线的斜率和点的坐标，进而得到切线方程。

（2）求解导数，运用导数的符号与函数单调性的关系得到极值的判定。并解决问题。

（3）当时，，

∴ f(x) 在上单调递增，最大值为，于是问题等价于：

对任意的，不等式恒成立

运用导数来完成恒成立的证明。

【解析】
.

(Ⅰ)当a=1时，，∴，∴切线方程为；

(Ⅱ)由已知，得且，∴，∵a>0，∴a=2．∴，f(x)在上单调递减，在上单调递增

又，∴  （8分）

(Ⅲ)当时，，

∴ f(x) 在上单调递增，最大值为，于是问题等价于：

对任意的，不等式恒成立．（10分）

记，（）

则，

当时，，∴在区间上递减，此时，，

∴时不可能使恒成立，故必有，∵

若，可知在区间上递增，在此区间上有g(a)>g(1)=0满足要求；

若，可知在区间上递减，在此区间上，有，与恒成立矛盾，

所以实数的取值范围为．（14分）