Question

设函数．

（1）当，时，求所有使成立的的值。

（2）若为奇函数，求证： ；

（3）设常数＜，且对任意x，＜0恒成立，求实数的取值范围．

Answer

【解析】
（1）或；（2）见解析 ；（3）＜ ＜．            

【解析】本试题主要是考查了函数的奇偶性与函数与不等式关系的运用，以及函数解析式的综合运用。

（1）当，时，函数．

或

（2）若为奇函数,则对任意的都有恒成立，则展开可得。

（3）由＜＜0， 当x=0时取任意实数不等式恒成立．

当0＜x≤1时,＜0恒成立，也即＜＜恒成立．

从而构造函数得到结论。

【解析】
（1）当，时，函数．

或

（2） 若为奇函数,则对任意的都有恒成立，

即，

令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴       

（3）由＜＜0， 当x=0时取任意实数不等式恒成立．

当0＜x≤1时,＜0恒成立，也即＜＜恒成立．

令在0＜x≤1上单调递增，∴＞．                        

令，则在上单调递减，单调递增

当＜时，在0＜x≤1上单调递减；

∴＜，∴ ＜＜．                          

当≤＜时    ≥．

∴ ＜．∴＜ ＜．