Question

（本题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=,PA=PD=AD=2BC=2，CD,M在棱PC上，N是AD的中点，二面角M-BN-C为.

（1）求的值；

（2）求直线与平面BMN所成角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）＝3；（Ⅱ）-。

【解析】本试题主要是考查了立体几何中线面角的求解以及线段的比例关系的综合运用。

（1）作ME∥CD，ME∩PD＝E．

∵∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC＝2，N是AD的中点，∴BN⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，   ∴BN⊥平面PAD，  ∴BN⊥NE，

则∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，        

∠DNE＝30°

（2）连结BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，

则∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角．连结PN，

则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN，

从而得到线面角的值。

（Ⅰ）作ME∥CD，ME∩PD＝E．

∵∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC＝2，N是AD的中点，∴BN⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，   ∴BN⊥平面PAD，  ∴BN⊥NE，

则∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，        

∠DNE＝30°．……………3分

∵PA＝PD＝AD，∴∠PDN＝60°，∴∠DEN＝90°，∴DE＝DP，

∴CM＝CP，故＝3----------------6分

（Ⅱ）连结BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，

则∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角．连结PN，

则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN，

∴PB＝＝＝，-------------- 9分

又PE＝PD＝，∴sin∠PBE＝＝．

所以直线PB与平面MBN所成的角为-   -----------12分