Question

（本题满分13分）

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，且受地理条件限制，长不超过米。

（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

（2）若|AN| （单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

Answer

（1） ；（2）|AN|＝3米，|AM|＝米 。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）由SAMPN > 32 得  > 32 ，

∴，即（3x－8）（x－8）> 0

∴或  又，

即AN长的取值范围是 

（2）令y＝，则y′＝

∵当，y′< 0，∴函数y＝在上为单调递减函数，

∴当x＝3时y＝取得最大值，即（平方米）

得到结论。

【解析】
设AN的长为x米（）

∵，∴|AM|＝

∴SAMPN＝|AN|•|AM|＝ -        ------------------------------------ 4分

（1）由SAMPN > 32 得  > 32 ，

∴，即（3x－8）（x－8）> 0

∴或  又，

即AN长的取值范围是                         ----------- 8分

（2）令y＝，则y′＝    -------------- 10分

∵当，y′< 0，∴函数y＝在上为单调递减函数，

∴当x＝3时y＝取得最大值，即（平方米）

此时|AN|＝3米，|AM|＝米                      ……………… 13分