Question

（本小题满分14分）

动圆G与圆外切，同时与圆内切，设动圆圆心G的轨迹为。

（1）求曲线的方程；

（2）直线与曲线相交于不同的两点，以为直径作圆，若圆C与轴相交于两点，求面积的最大值；

（3）设，过点的直线（不垂直轴）与曲线相交于两点，与轴交于点，若试探究的值是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由。

Answer

（1）；（2）；(3) 。

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆方程的位置关系的综合运用。

（1）   利用圆圆位置关系，得到圆心距与半径的关系式，从而得到点的轨迹方程。

（2）   设出直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到结论。

（3）   设直线与椭圆联立方程组，利用过圆心得到垂直关系，结合韦达定理得到结论。

【解析】
（1）设圆G的半径为r，依题意得：，

所以，所以G点轨迹是以为焦点的椭圆，

所以曲线的方程是………… 4分

（2）依题意，圆心为．

  由 得.     ∴ 圆的半径为．     

∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，

∴ ，即．                 

∴ 弦长   ∴的面积

当且仅当即时，等号成立，

所以面积的最大值是   ………………… 8分

(3) 依题意，直线的斜率存在，设，，，则

由消得：，

则 ①    ②

由得，所以

又不垂直轴，所以，故，同理；

所以=，

将①②代入上式得………………… 14分