Question

（12分）有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗忽略不计）。有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个全等的小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长。

（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的最大容积；

（2）请你判断上述方案是否是最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积。

Answer

（1）当时，取最大值 ；

（2）重新设计方案如下：

如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积为6，故第二种方案符合要求.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解最值问题。

（1）因为设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为，高为x，

，然后求解导数来判定单调性得到极值，进而求解最值。

（2）在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积为6，故第二种方案符合要求

（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为，高为x，

                          ……（2分）

.                                ……（3分）

当时，是关于x的增函数；

当时，是关于x的减函数.

∴当时，取最大值                                       ……（7分）

（2）重新设计方案如下：

如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积为6，故第二种方案符合要求.……（12分）