Question

（14分）已知函数，其中a为实数。

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围。

（3）证明，对于任意的正整数m，n，不等式恒成立。

Answer

（1）当时，在上递减，在上递增

当时，在，上递增，在上递减

当时，在上递增

当时，在，上递增，上递减；

（2）；

（3）见解析。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）因为函数，故,然手对于参数a进行分类讨论得到单调性。

（2）由（1）知当时

当时，不恒成立

（3）由（2）知时，恒成立

当且仅当时以“=”

然后分析得到。

【解析】
（1）

当时，在上递减，在上递增

当时，在，上递增，在上递减

当时，在上递增

当时，在，上递增，上递减          ……（5分）

（2）由（1）知当时

当时，不恒成立

综上：                                                   ……（9分）

（3）由（2）知时，恒成立

当且仅当时以“=”

时，

……

……(14分)