Question

已知圆内一点过点的直线交圆于 两点,且满足 (为参数).

(1)若，求直线的方程；

(2)若求直线的方程；

(3)求实数的取值范围.

Answer

(1) 或 (2)  (3)

【解析】本试题主要是考查了直线与圆位置关系的运用。以及直线方程的求解和参数的求值问题。

（1）因为当直线的斜率不存在时， ，不满足,故可设所求直线的方程为与圆的方程联立，结合韦达定理得到结论。

（2）设直线方程与圆联立，然后结合向量的关系式得到坐标关系，并结合韦达定理得到参数k的值,进而得到直线的方程。

（3）可设所求直线的方程为，

代入圆的方程，整理得，（*）

设，则为方程（*）的两根，

由可得

则有，得， ----（12分）

而，由可解得

所以实数的取值范围为可得。

【解析】
（I）当直线的斜率不存在时， ，不满足,故可设所求直线的方程为， ------------（1分）

代入圆的方程，整理得， --------------（2分）

利用弦长公式可求得直线方程为或.--------------（4分）

（II）当直线的斜率不存在时， 或，不满足,故可设所求直线的方程为， ---------------（5分）

代入圆的方程，整理得，

设，则为方程（*）的两根，

由可得---------（6分）

则有，得，解得---（8分）

所以直线的方程为-------------（9分）

（III）当直线的斜率不存在时，

或，或,---------（10分）

当直线的斜率存在时可设所求直线的方程为，

代入圆的方程，整理得，（*）

设，则为方程（*）的两根，

由可得

则有，得， -----（12分）

而，由可解得

所以实数的取值范围为-----------（14分）