Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，直线与椭圆C相交于A、B两点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】（1）利用以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+ 6=0相切，可求b的值，再利用椭圆的离心率为 ，即可求出椭圆C的方程；

(2)利用向量的坐标，表示出数量积，结合伟大定理得到结论。

（3）设点的坐标，然后代入椭圆中，从而得到直线AB的方程，得到定点。

【解析】
因为：（Ⅰ）∵椭圆C：的离心率为 ，∴∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线0相切．

∴b=  

∴a2=4，b2=3

∴椭圆的方程为

（Ⅱ）∴…8分

∵∴，   ∴

∴的取值范围是．……………………… 10分

（Ⅲ）证：∵B、E两点关于x轴对称，∴E(x2，－y2)

直线AE的方程为：，

令y = 0得：

∴直线AE与x轴交于定点(1，0)．………… 13分

(2)因为直线与椭圆C相交于A、B两点，那么联立方程组可知得到韦达定理从而得到取值范围。

（3）直线AE与x轴相交于定点Q：（1，0）