Question

设函数

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）证明：当，且…，，时，

(1)…

(2) ….

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的单调区间和证明不等是的综合运用。

（1）先求解函数的定义域和函数的导数，然后结合导数的符号判定单调区间。

（2）运用第一问中的结论。得到不等式的放缩得到证明。

（3）结合第一问和第二问的基础上，进一步放缩法得到结论。

【解析】
（Ⅰ）由，有，………………… 2分

当时，时，单调递增；

当时，时，单调递减；

所以的单调递增区间为，单调递减区间为. …… 4分

（Ⅱ）设，

则.………………6分

由（Ⅰ）知，在单调递减，

∴，即是减函数，

而，所以，得，

得，故.………………… 8分

（Ⅲ）（1）由…，及柯西不等式可知，

…

……

，                           

所以，……………………11分

（2）由（1）得：.  

又，由（Ⅱ）可知，

即，即.

则.

故………………14分