Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.

（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（2）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

Answer

1）2

（2）证明：由于底面是矩形，故,又由于，

因此平面PDC,而平面，所以平面平面.

（3）

【解析】(1)找出线面角是求解的关键，因为,所以可知为异面直线与所成的角.

如图，

在四棱锥中，因为底面是矩形，

所以且,又因为,故为异面直线与所成的角.

在中，,

所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.

 (2)证明平面PDC即可.

（3）在平面内，过点P作交直线CD于点E，连接EB.因为平面平面,故平面，由此得为直线PB与平面所成的角.余下的问题是解三角形求角.

在平面内，过点P作交直线CD于点E，连接EB.

由于平面平面，而直线CD是平面与平面的交线，

故平面，由此得为直线PB与平面所成的角.

在中，由于可得.

在中，，

由平面，得平面，

因此,在中，.

在中，

所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为.