Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB＝2，∠BAD＝60°．

（Ⅰ）求证：直线BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；

（Ⅲ）已知M在线段PC上，且BM=DM=，CM=3，求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD． ………………1分

    又因为PA⊥平面ABCD，   平面ABCD，  所以PA⊥BD， …3分

       又因为，所以BD⊥平面PAC． ………………4分

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】(I)由条件易知AC⊥BD,然后再证PA⊥BD即可.

（II）本小题关键是找或做出PB与平面PAD所成的角，过B作，连结PE，

因为PA⊥平面ABCD，   平面ABCD，  所以PA⊥BE，又因为，，所以BE⊥平面PAD．所以是直线与平面所成角．过B作，连结PE，

因为PA⊥平面ABCD，   平面ABCD，  所以PA⊥BE

又因为，，所以BE⊥平面PAD． ………………５分

所以是直线与平面所成角． ………………６分

在△BEP中， ，， ………………７分

所以．

所以是直线与平面所成角的正切值． ………………８分

（Ⅲ）设F是ＭＣ的中点，连结ＢＦ，ＤＦ，

因为ＢＭ＝ＢＣ，△ＢＭＣ为等腰△，

所以ＢＦ⊥ＭＣ  同理ＤＦ⊥ＭＣ                 ………………9分

所以为二面角的平面角．………１０分

在△中，………………１１分

由余弦定理得．

所以二面角的余弦值为．………………１2分