Question

（本小题满分9分）

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=.

（1）求四棱锥S-ABCD的体积.

（2）求证：面SAB⊥面SBC.

（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值.

Answer

证明：（1）  VS-ABCD=××1= ；（2）见解析；（3）tan∠SCA===。

【解析】(1)根据梯形的面积公式及四棱锥的体积公式直接求值即可.

（2）先由SA⊥面ABCD,可得SA⊥BC，再由AB⊥BC ,得BC⊥平面SAB，从而证得平面SAB⊥平面SBC.

(3)找到线面角是解决问题的关键.连接AC    ∵SA⊥面ABCD

∴∠SCA为SC与底面ABCD所成的角,然后解三角形即可.

证明：（1）S梯形ABCD=（AD+BC）·AB=（+1）×1=

  VS-ABCD=××1= ……………2分

（2）∵SA⊥面ABCD  ∴SA⊥BC……………………………………3分

又AB⊥BC    ∴BC⊥平面SAB

∴平面SAB⊥平面SBC……………………………………5分

（3）连接AC    ∵SA⊥面ABCD

∴∠SCA为SC与底面ABCD所成的角……………………………………7分

在Rt△ABC中，AC==

在Rt△SAC中，tan∠SCA===……………………………………9分