Question

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB=5，，求BC和BF的长．

Answer

（1）见解析；（2）BC=2，BF=

【解析】1）由已知条件可判定直线BF与⊙O相切

（2）在Rt△ANB中，利用边角关系求出BE的长，进而求出BC所以△AGC∽△FBA，利用对应边的比值相等求出PC，在利用勾股定理求出AE，则可求出．

证明：（1）证明：连结AE．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°．

∴∠1=∠2=90°．

∵AB=AC

∴∠1=∠CAB．

∴∠CBF=∠CAB，

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°．

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直径，

∴直线BF是⊙O的切线．

（2）【解析】
过点C作CG⊥AB于点G．

∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，

∴sin∠1=

∵∠AEB=90°，AB=5，

∴BE=AB·sin∠1=

∵AB=AC，∠AEB=90°，

∴BC=2BE=2

在Rt△ABE中，由勾股定理AE==2

∴sin∠2=，cos∠2=．

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，

∴AG=3．

∵GC∥BF

∴△AGC∽△ABF．

∴BF=