Question

如图，

两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从岛出发，以10海里/小时的速度沿

北偏东75°方向直线航行，下午1时到达处.然后以同样的速度，沿北偏东 15°方向直线航

行，下午4时到达岛.

（Ⅰ）求、两岛之间的直线距离；

（Ⅱ）求的正弦值.

Answer

解（Ⅰ）在中，由已知，，  …………2分

   …………3分                    

由余弦定理，得

，

 所以.                 …………5分

故两岛之间的直线距离是海里.                        …………6分

（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理，得，    …………8分

所以.           …………11分

故的正弦值是.                                   …………12分

（由余弦定理求 ，再求出的正弦值是）

【解析】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形在实际问题中的应用，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学中的工具进行求解，试题的难度一般不大

（1）在△ABC中，由已知，AB=10×5=50，BC=10×3=30，及∠ABC=180°-75°+15°=120可考虑利用据余弦定理求AC

（2）在△ABC中，据正弦定理，得BC：sin∠BAC

=AC ：sin∠ABC 可求sin∠BAC