Question

已知数列的前项和为，点在直线上．数列满足

，，且其前9项和为153.

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值．

Answer

【解析】
（Ⅰ）由已知得，                         

                                             …………1分

当时，

          …………3分

当时，也符合上式．      （没有检验扣1分）                       

 ，    .                                     …………4分

由 知是等差数列，              …………5分

由的前9项和为153，可得，

得，又，                        

∴的公差，                         

由 ，得，

∴，    .                                   …………7分

（Ⅱ） ，                    …………9分

                                             …………10分

∵增大， 减小 ， 增大，

∴是递增数列．                   

∴.  即的最小值为                           …………12分

要使得对一切都成立，只要，

，则.                                      …………14分

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解和求和的运用。

（1））由已知得，利用前n项和与通项公式的关系得到通项公式的结论。

（2）因为，利用裂项求和得到结论。，并证明不等式。