Question

设z是虚数是实数,且.

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;

(2)设求证:u为纯虚数;

(3)求的最小值.

Answer

【解析】
(1)∵z是虚数,∴可设z=x+yiR,且 、

∴ii

i.

∵是实数且∴.

∴即|z|=1.此时.

∵∴-1<2x<2,从而有.

即z的实部的取值范围是.

(2)证法一:i,

∵∴.∴u为纯虚数.

证法二:∵z为虚数,且|z|=1  ,∴z=1 , 即.

 .

∴u为纯虚数.

(3)i

2x+

∵∴1+x>0.

于是  

当且仅当2即x=0时等号成立.

∴的最小值为1,此时i.

【解析】本试题主要是考查了复数的概念和运算的综合运用

（1）因为z是虚数,∴可设z=x+yiR,且 、

∴ii

从而证明u是纯虚数。

（2）i，然后化简和计算得到

 然后借助于函数思想得到结论。