Question

已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.

（I）求函数的解析式；

（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.

Answer

（I）

（II），取得极大值和极小值时自变量的值分别为和

【解析】(I)由切线方程为y=5x-10可知切点为(2,0),所以根据

f(2)=0,可建立关于b,c的两个方程，然后联立解方程组可求出b,c的值，从而f(x)的解析式确定.

(II)先确定g(x)的表达式，然后利用有实数根，转化为二次方程借助判别式来研究即可.

【解析】
（1）由已知,切点为(2,0),故有,即……①

又，由已知得…②

联立①②，解得.

所以函数的解析式为    …………………6分

（2）因为

令

当函数有极值时，则，方程有实数解，

由，得.

当时，有实数，在左右两侧均有，

故函数无极值

当时，有两个实数根,

,情况如下表：

+

0

-

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以在时，函数有极值；

且取得极大值和极小值时自变量的值分别为和……………14分