Question

（本小题满分12分）．对任意函数，可按右图构造一个数列发生器．记由数列发生器产生数列．

（Ⅰ）若定义函数，且输入，请写出数列的所有项；

（Ⅱ）若定义函数，且输入，求数列的通项公式．

(Ⅲ)若定义函数，且要产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值及相应数列的通项公式．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）数列的通项公式．

(Ⅲ) 当；当．

【解析】(I)先确定的定义域,然后把代入可得,再利用迭代关系可依次求出,.从而得出结论.

(II) 若，则，可得,然后构造等比数列求解即可.

(III)本题的实质是若要产生一个无穷的常数列，则在上有解.

即在上有解.

【解析】
（Ⅰ）函数的定义域………1分

把代入可得，把代入可得，把代入可得

因为，

所以数列只有三项：………4分.

（Ⅱ）的定义域为，

若，则，

则，所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，所以，

即数列的通项公式．………8分

(Ⅲ) 若要产生一个无穷的常数列，则在上有解，………9分

即在上有解，则或，所以或 

即当

故当；当．………12分