Question

已知函数的图象过点(1,2)，相邻两条对称轴间的距离为2，且的最大值为2.

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）计算；

（Ⅲ）设函数，试讨论函数在区间[1，4]上的零点情况.

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）见解析（Ⅲ）

【解析】(I)根据题目给的条件可A=2，T=4，可得,再根据图像过点（1，2），

可求出.从而确定f(x)的表达式进而可求出其单调增区间.

，

由于的最大值为2且A>0，

 ∴ 所以即A=2

∴，又函数的图象过点(1,2)则

 ∴

由得

∴的单调增区间是

 (II)由于周期为4,所以只需要求出f(1),f(2),f(3),f(4)的值，然后即可知.

由（Ⅰ）知，

∴的周期为4，而2012=4×503

且

∴原式

 (III)解本小题的关键是知道

函数的零点个数即为函数的图象与直线的交点个数.然后分别作出其图像，从图像上观察得到结论即可.

函数的零点个数即为函数的图象与直线的交点个数.

在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象(如下图所示)，

由图象可知:

1） 当或时，函数的图象与直线无公共点，即函数无零点；

2） 当或时，函数的图象与

直线有一个公共点，即函数有一个零点；

3） 当时，函数的图象与

直线有两个公共点，即函数有两个零点.