Question

（本小题满分12分）

设数列的前n项和为且方程有一根为，n=1,2,3…,试求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明

Answer

由，

当n=2时，由①得 ，

当n=3时，由①得  ，

猜想  n=1,2,3… 证明见解析。

【解析】本试题主要是考查了数列的前n项和的表达式的求解和证明的综合运用。

（1）根据已知条件，对n令值，得到前几项的和，然后归纳猜想。

（2）运用数学归纳法加以证明，分为两步骤，注意要用到假设。

证明：              

当n=1时，  

当n≥2时，，

 代入（*）式得①            ……（3分）

当n=2时，由①得    ……（4分）

当n=3时，由①得    ……（5分）

可以看到上面表示的三个结果的分数中，分子与项数一致，分母是项数加1，

由此猜想  n=1,2,3…             ……（6分）

下面用数学归纳法证明这个猜想：

（1）当n=1时已知猜想成立                        ……（7分）

（2）假设n=k时猜想成立，即

则当n=k+1时，由①得

这就是说，当n=k+1时，猜想也成立             ……（10分）

根据（1）和（2），可知对所有正整数n都成立  ……（12分）