Question

（本小题满分14分）

设函数,函数g(x)=分别在x=m和x=n处取得极值，且

m<n

（1）求的值

（2）求证：f(x)在区间[m,n]上是增函数

（3）设f(x)在区间[m,n]上的最大值和最小值分别为M和N,试问当实数a为何值时，M-N取得最小值？并求出这个最小值

Answer

【解析】
（1）

（2）f(x)在区间[m,n]上为增函数 ；

（3）a=0，f(n)=1a=0     。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用求解函数的极值和函数的最值，以及函数的单调性问题的综合运用。

（1）因为为的两根为m,n

所以由韦达定理得 m+n=-a,mn=-1，从而解得。

（2）运用导数的工具性作用，判定函数在给定区间的导数是否恒大于等于零得到。

（3）根据由（2）可知M=f(n),N=f(m)

 必有f(m)+f(n)=0，得到2mn(m+n)+2a=0 所以a=0。

【解析】
（1）因为的两根为m,n

所以由韦达定理得 m+n=-a,mn=-1              ……（1分）

因为m≤x≤n,所以

因此f(x)在区间[m,n]上为增函数                  ……（8分）

（3）由（2）可知M=f(n),N=f(m)

 ……（10分）

 必有f(m)+f(n)=0

又f(m)+f(n)=

 整理可得 2mn(m+n)+2a=0 所以a=0

又可验证此时f(n)=1a=0       ……（14分）