Question

设函数.

（Ⅰ）试问函数能否在时取得极值？说明理由；

（Ⅱ）若当时，函数与的图像有两个公共点，求c

的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）或.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用

（1）求解函数的极值问题，首先求解导数，然后令导数为零结合极值的判定定理可知结论。

（2）设，则有，∴，

设，令，解得或.

从而结合导数的知识得到证明。

【解析】
(Ⅰ）由题意，

假设在时取得极值，则有，∴a=-1,

而此时，，函数在x=-1处无极值.

（Ⅱ）设，则有，∴，

设，令，解得或.

列表如下：

x

-3

(-3,-1)

-1

(-1,3)

3

(3,4)

4

+

0

-

0

+

-9

增

减

-9

增

由此可知：F（x)在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数.

当x=-1时，F（x)取得极大值F（-1）=；当x=3时，F（x)取得极小值

F（-3）=F（3）=-9，而F（4）=.

如果函数与的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，

所以或.