Question

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；

（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小.

Answer

（Ⅰ）无关；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人

【解析】本试题主要是考查了相互独立事件的概率的乘法公式，以及均值的求解和期望公式的运用。

（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是可以解得，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，则可得。

（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为求解出时，随机变量X的分布列可以得到，并且所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX也可以求解。

（III）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.

【解析】
（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于

（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量X的分布列为   

X

1

2

3

P

所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是

 （III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.

下面证明：对于的任意排列，都有

……………………（*）

事实上，

即（*）成立.

（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为若交换前两人的派出顺序，则变为.由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值.

（ii）也可将（II）中所求的EX改写为，或交换后两人的派出顺序，则变为.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.

序综合（i）（ii）可知，当时，EX达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的