Question

（14分）一船由甲地逆水驶至乙地，甲、乙两地相距 S （km）,水的流速为常量a（km/h）,船在静水中的最大速度为b (km/h)  (b>2a)，已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度 v（km/h） 的平方成正比，比例系数为 k ,问：

（1）船在静水中的航行速度 v 为多少时，全程燃料费用最少？

（2）若水速 a = 8.4 km/h，船在静水中的最大速度为b=25 km/h,要使全程燃料费用不超过40 k S元，求船在静水中的航行速度v 的范围。

Answer

（1）船在静水中速度 v = 2a (km/h)时，全程燃料费最少。

(2)当 12≤ v ≤ 25 时，全程燃料费不超过40kS元.

【解析】本试题主要是考查了函数在物理中的运用。

（1）根据已知中的条件可知设设全程燃料费用为 y，故全程所需时间为

，那么y = kv 2   ，进而得到解析式，，分析定义域和不等式的思想得到最值。

（2）由以知得 ，得到得 ，解不等式得到范围进而得到最值。

【解析】
(1)设全程燃料费用为 y .    …… 1分

      ∵ 全程所需时间为

∴   y = kv 2                     ……2分

=     ……3分

        =      v∈( a , b ]    ……4分

∵  v ­­– a > 0  ∴  y≥ 4akS ,      …… 5分

当且仅当  ， 即 v = 2a 时取等号，……6分

∵  2a ∈ ( a, b ]  （ 7分）    ∴ 当  v = 2a时，全程燃料费最少. ……8分

  (2) 由以知得      ……10分

得     12 ≤ v ≤ 28 . 

∵v ≤ b  12≥a ∴   12 ≤ v ≤ 25       ……13分

答 （1）船在静水中速度 v = 2a (km/h)时，全程燃料费最少。

(2)当 12≤ v ≤ 25 时，全程燃料费不超过40kS元.           ……14分