Question

（16分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

⑴求的值及的表达式；

⑵隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.

Answer

⑴。

⑵当隔热层为5cm厚时，总费用达到最小值70万元。

【解析】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．

1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=k/(3x+5 )

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到C(x)=40 /(3x+5 )．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．

（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．

解析：⑴根据题意设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为，由，解得，故，而建造费用为，隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为。

⑵，令，解得或（舍去）。

当时，，当时，，故是的最小值点，对应的最小值是.

当隔热层为5cm厚时，总费用达到最小值70万元。